Рекурсивные алгоритмы используются в программировании для упрощения вычислений. Умение обращаться с ними является одним из базовых навыков программиста. Поэтому расчет числа Фибоначчи (достаточно простой рекуррентной функции) часто является тестовым заданием, которое дается соискателю на вакансию программиста для проверки его навыков или применяется в обучении будущих кодеров.
Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Он ознакомился с достижениями арабских математиков4, а также античных и индийских в арабском переводе. На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки.
Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)5. Популяции некоторых животных, особенно кроликов, также могут демонстрировать закономерности, связанные с числами Фибоначчи. Например, если считать поколения кроликов при определенных условиях размножения, то количество пар кроликов в каждом поколении будет следовать числам Фибоначчи. Сам Фибоначчи рассматривал эту последовательность просто как одно из математических упражнений среди прочих задач, указанных в его книге «Жизнь абака».
- Отношение длин этих спиралей близко к золотому сечению, что также связано с числами Фибоначчи.
- Лежащее в ее основе золотое сечение было известно еще в государствах Древнего Востока, но особую популярность оно приобрело в эпоху Возрождения.
- Сама последовательность была известна еще с древних времен — в частности, она использовалась в древнеиндийском стихосложении, в том или ином виде ее знали древнегреческие и арабские математики.
- Великие скульпторы и живописцы того времени начали применять золотую спираль для построения художественной композиции, пропорций различных объектов, в том числе человеческого тела.
- Оказывается, семена внутри цветка расположены в виде двух рядов спиралей — коротких и длинных.
В XII главе приводятся задачи на суммирование рядов — арифметической и геометрической прогрессий, ряда квадратов и, впервые в истории математики, возвратного ряда, приводящего к последовательности так называемых чисел Фибоначчи. В XIII главе излагается правило двух ложных положений и ряд других задач, приводимых к линейным уравнениям. В XIV главе Леонардо на числовых примерах разъясняет способы приближённого извлечения квадратного и кубического корней.
Что такое золотое сечение
Таинственное число Фибоначчи, равное 1,618, будоражит умы ученых уже на протяжении нескольких тысячелетий. Кто-то считает это число строителем мироздания, кто-то брокер freshforex называет его числом Бога, а кто-то, не мудрствуя лукаво, просто применяет его на практике и получает невероятные архитектурные, художественные и математические творения. Число Фибоначчи было обнаружено даже в пропорциях знаменитого «Витрувианского человека» Леонардо Да Винчи, который утверждал, что знаменитое число, пришедшее из математики, руководит всей Вселенной. Когда мы готовили этот материал, наш редактор вспомнил диалог из старой детской книжки «В лабиринте чисел» — кажется, он идеально подходит для финала статьи о числах Фибоначчи.
Хотя некоторые исследования показывают, что существует сходство между золотым сечением и аспектами человеческого тела, такими как пропорции лица и тела. На этих принципах они даже разработали понятие канонических пропорций, которые легли в основу, например, известных античных скульптур богов, героев и атлетов. Но и на этом применение последовательности Фибоначчи не заканчивается. Дальше мы узнаем, как эти числа использует сама природа и какое применение они нашли в программировании. Оставаясь верным математическим турнирам, основную роль в своих книгах Фибоначчи отводит задачам, их решениям и комментариям.
Числа Фибоначчи и последовательность
В той же Apple, к слову, давно поняли, что золотое сечение — это круто. В её фирменном знаке как раз используются повторяющиеся спирали, навеянные числами Фибоначчи. Оказывается, семена внутри цветка расположены в виде двух рядов спиралей — коротких и длинных. Смысл в том, что количество коротких спиралей в подсолнухе равно 21, а длинных — 34. И в этом весь смысл чисел Фибоначчи — считать кроликов в загоне?
Задачи по теории чисел
Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей «Книге абака» (Liber abaci, 1202 год; до наших дней сохранилась только дополненная рукопись 1228 года)6. Эта книга состоит из 15 глав что такое модель поглощения и содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной. Первые пять глав книги посвящены арифметике целых чисел на основе десятичной нумерации. В VI и VII главе Леонардо излагает действия над обыкновенными дробями. В VIII—X главах изложены приёмы решения задач коммерческой арифметики, основанные на пропорциях.
Они хотели создавать красивые постройки, которыми бы наслаждались все жители города. К этому времени относится его работа «Книга квадратов», написанная в 1225 году. Книга посвящена диофантовым уравнениям второй степени и ставит Фибоначчи в один ряд с такими учёными, развивавшими теорию чисел, как Диофант и Ферма13. Единственное упоминание о Фибоначчи после 1228 года относится к 1240 году, когда ему как войти в it с четким планом действий даже после 30 лет в Пизанской республике была назначена пенсия за заслуги перед городом9. Примечательно, что эта математическая закономерность встречается в природе удивительно часто и проявляется в самых разнообразных формах. Существует мнение, что почти все утверждения, находящие числа Фибоначчи в природных и исторических явлениях, неверны — это распространённый миф, который часто оказывается неточной подгонкой под желаемый результат3536.
Разработанные на основе золотой спирали методы и технологии широко применяются в разных областях человеческой жизни, от сугубо научных до прикладных, таких как компьютерная графика, криптография, программирование, обработка данных и т.д. Случайными называются числа, полученные в результате случайного события. Простейший пример — подбрасывание монетки или игральной кости. Сама последовательность была известна еще с древних времен — в частности, она использовалась в древнеиндийском стихосложении, в том или ином виде ее знали древнегреческие и арабские математики. Эту последовательность впервые описал итальянский математик Леонардо Пизанский в его работе «Жизнь абака» в 1202 году.
